自由落体时间计算公式(自由落体时间计算公式推导)

摩天大楼暗藏杀机?

随着经济迅猛发展,高层建筑越来越多,其中不乏百层以上的超高层建筑。除了828米高、163层的哈利法塔;632米高、128层的上海大厦;601米高、120层的阿布拉吉·阿尔·贝特(沙特)大厦;597米、117层的天津117大厦;599米高、115层的深圳平安金融中心外,还有好几座高度超过700米的摩天大楼正在建设中。

当你从这些高耸入云的钢铁和水泥森林下方经过,是否曾有过这样的担心:万一有个人从楼顶扔东西下来——比如一枚一块钱的硬币,它会不会砸穿头颅,杀死自己?

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摩天大楼暗藏杀机?

这个问题看似无聊,其中却暗含许多科学道理。所以今天我们从科学的角度来分析一下超高空抛物: 从一座百层高楼的楼顶扔一枚一元硬币下来会如何?它会砸死人吗?

自由落体运动

由于万有引力的关系,我们扔出去的物体都会因为重力而落回地面,无论它是一枚硬币还是一颗苹果。当一个成熟的苹果从树枝落到地面,我们常常称之为自由落体。

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一个掉落的苹果

当外部条件相同时,两个不同质量的球体下落的速度与它的重量没什么关系,意大利科学家伽利略早在公元16世纪就证明了这一点。传说他从比萨斜塔向下扔了一大一小两个铁球,结果这两个重量相差悬殊的铁球“同时”落到地面,由此证明了16世纪科学界普遍认同的“下落物体的速度与其重量成正比”的理论是错误的,实际上自由落体的速度与其本身的质量无关

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比萨斜塔与伽利略实验纪念牌匾

铁球真的是“同时落地”吗?

当我将这个问题抛向正在读高中的儿子时,他不加思索地回答说:“是啊!按照牛顿第二定律,两个铁球应该同时落地。”

然而事实并非如此。如果伽利略从比萨斜塔50米的高处同时扔下一颗1千克的小铁球和一颗10千克的大铁球,应该是小铁球先落到地面,大铁球要稍晚一点点。

因为大铁球体积更大,它受到的空气阻力也更大,只是由于在如此短的距离内(50m)空气阻力对铁球的速度影响很小,因此它的作用常常被忽略,于是我们将铁球或苹果的下落称为自由落体。

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自由落体在相等时间内的下降距离

铁球落地用了多少时间?我们通过自由落体方程:

d = gt² ÷ 2

将下落高度d=50m,重力加速度g=9.807m/s² 代入公式,可以得出:

t = 3.19s

因此理论上铁球落地的瞬时速度应为:

v = gt = 10.18m/s

牛顿力学的自由落体是将空气阻力排除在外的,很显然你不会将一片羽毛或一张纸的飘落称为自由落体运动。在铁球下落的过程中,作用于铁球的不只有地球的重力,同时还有一个向上的拖拽力。这个拖拽力的大小不仅与铁球的大小、形状和表面粗糙度相关,还与空气的密度以及铁球的运动速度有密切关系。

计算空气阻力的方程比较复杂,它通常简单表示为:

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空气阻力方程

其中F表示空气阻力(拖拽力);ρ表示空气的密度;v表示物体运动速度;A是物体在运动方向上的投影面积;C是阻力系数,这是一个无量纲数,它取决于物体的形状、光滑度等等方面。由此我们可以看出,两个下落的铁球的大小(A)与下降速度(v)决定了其所受空气阻力大小,铁球越往下掉,它们之间的速度差就越明显。因此两个不同大小的铁球落地时间是不相同的,体积大的会晚落地。

硬币的下落不同于铁球

同样是金属制品,由于形状的不同,硬币的下落过程与铁球存在很大差异。

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一元硬币

目前正在流通的一元硬币为钢芯镀镍材质,直径25mm,厚度1.85mm,重约6克。这类小质量的扁平状物体在从高空下落的过程中遇到的空气阻力比起铁球要复杂得多。

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湍流与摩擦

由上图我们不难看出,铁球在下落的过程中持续受到空气摩擦力和湍流的影响,它们共同构成空气阻力;而硬币在垂直下落过程中受到的摩擦力最大、湍流最小,当它以水平状态下落时受到的空气湍流最大、摩擦力变小。事实上硬币在下落的过程中大多处于随机翻滚的状态,因此我们回过头来看空气阻力方程,其中ρ、v、C和A都在不断变化,你很难精确计算它到底受到了多少空气拖拽力。与此同时,硬币的下落路径也并不是直线或抛物线,它更像是一片树叶胡乱摇摆着“飘落”到地面

姿势决定速度

一个人如果从高空的飞机上掉下来是惊险刺激且必死无疑的,除非他有降落伞。有降落伞就大概率不会死,于是有许多人爱上跳伞运动。

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空降兵跳伞比赛

跳伞运动就是利用增加空气阻力方程中的那个“A”,也就是加大投影面积来增加空气阻力,从而降低人的下降速度。由于运动员离开飞机的高度很高,他们还有机会在空中玩各种“花活儿”,这被称为花式跳伞。这时候运动员会调整身体姿态,面向大地,使自己的投影面积最大化。这就像水平下落的硬币一样。

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花式跳伞之水平下降

花式跳伞的运动员通常在跳出机舱后15秒达到54米/秒的下降速度,如果降落伞不打开,他会一直保持这个速度拍向地面,因此54米/秒是这种姿势的终极速度。

但极限跳伞会有所不同。当运动员拉动四肢,以头朝下的姿势垂直向下坠落时,它的终极速度可以达到90米/秒。事实上你从飞机上扔一颗铁球,它到达地面的速度也差不多是91米/秒,这是由地球空气阻力决定的。

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追求终极速度的极限跳伞

硬币从摩天大楼抛下的速度是多少?

让我们回到硬币上来。

假设有一个人从828米高的哈利法塔顶端扔下一枚一元钱硬币,钱币落到地面的速度会是多少?

如果用上面的自由落体方程,我们可以计算出:

t = 13s

v = gt = 127m/s

127米/秒,这是一个危险的速度,因为我们知道一颗速度为60米/秒的钢珠就可以击穿人体皮肤造成伤害,127米/秒的硬币足以穿透颅骨,将我们杀死。

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我们依赖坚硬的颅骨保护大脑

幸运的是,相对于重力加速度而言,空气阻力同样是强大的。尽管硬币在空中翻滚运动的姿态很复杂,我们很难将其代入阻力方程计算准确速度,但大量的实验表明,硬币在从高空掉落地面时,它的终极速度大约在45米/秒至60米/秒之间。也就是说,你大概率会被这枚飘落的硬币砸一个包。

但是请不要高兴得太早!

因为在某些情况下,硬币的速度可以更快

当硬币并不是被随意抛出,而是被加上一个旋转的力,这时候硬币就会像一个飞轮那样自转,变身成一个小小的陀螺。

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旋转的硬币可以保持稳定,不会翻滚

如果这个陀螺的平面垂直于下落方向,由于角动量守恒的原因,硬币会基本垂直于地面下落,这时候它的投影面积A最小,拖拽力只有空气摩擦力和小小的涡流,这意味着硬币下落的速度很可能超过60米/秒,介于60米/秒~90米/秒之间。尽管因动能较小无法一击毙命,但至少可以让人头破血流!

总结:

每当我们讨论自由落体可能带来的伤害时,总有人会拿掉落的雨点来调侃。事实是,由于空气阻力的原因,所有落到地面的雨滴都不会超过90米/秒,加之雨滴是液体,所以最大的雨滴除了让你有点疼之外完全不会造成伤害。

自由落体定律排除了空气的影响,如果你在高空同时抛下两个大小不同的铁球,肯定是小球先落地,因为它受到的空气阻力更小。如果伽利略不是从比萨斜塔而是从哈利法塔上扔铁球,他就不只是公式化下落物体方程,或许还可以写出空气阻力方程了。

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高耸的哈利法塔

从摩天大楼顶端落下的一元硬币落到地面的速度大多会低于60米/秒,加之硬币只有6克,它的动能不足以杀人,砸到成年人的脑袋上会肿起一个大疙瘩。

如果硬币被加了一个自转的速度,同时也没有风(大楼周围的气流总是很复杂的),硬币便有了杀伤力,它很可能会打破头。好在摩天大楼顶部的管理大多极其严格,基本不会给好事者胡乱扔钱的机会。

不管怎么样,高空抛物都是危险的行为,并且很可能触犯法律,我们应该严于律己,坚决不要向窗外乱扔东西,无论你扔的是钱还是别的什么。

原创文章,作者:冬心暖,如若转载,请注明出处:https://www.jx027.com/42102.html

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